فیلتر بالا گذر اکتیو

 فیلتر بالاگذر اکتیو را می‌توان با ترکیب یک شبکه فیلتر پسیو RC با یک تقویت‌کننده عملیاتی برای تولید یک فیلتر بالا‌گذر تقویت‌کننده ایجاد کرد.

عملکرد اصلی یک فیلتر بالاگذر اکتیو (HPF) مانند مدار فیلتر بالا‌گذر پسیو RC معادل آن است، با این تفاوت که این بار مدار دارای یک تقویت‌کننده عملیاتی است یا در طراحی آن گنجانده شده‌است که وظیقه تقویت و کنترل گین را دارد.

همچون مدار فیلتر پایین‌گذر اکتیو قبلی، ساده‌ترین شکل فیلتر بالا‌گذر اکتیو، اتصال یک تقویت‌کننده عملیاتی معکوس یا غیر‌معکوس استاندارد به مدار فیلتر پسیو بالا‌گذر RC پایه است.

فیلتر بالاگذر اکتیو درجه اول

۱. فیلتر بالاگذر اکتیو درجه اول

از نظر فنی، چیزی به نام فیلتر بالاگذر اکتیو وجود ندارد. بر خلاف فیلترهای بالاگذر پسیو که دارای پاسخ فرکانسی «بی نهایت» هستند، حداکثر پاسخ فرکانسی باند عبور یک فیلتر بالاگذر اکتیو توسط ویژگی‌های حلقه باز یا پهنای باند تقویت‌کننده عملیاتی مورد استفاده محدود می‌شود و پاسخ فرکانسی آنها به گونه‌ای است که انگار فیلترهای میان‌گذر با نقطه فرکانس قطع بالا هستند که محل نقطه قطع، با انتخاب آپ امپ و گین تعیین می‌شود

در مقاله تقویت‌کننده عملیاتی دیدیم که حداکثر پاسخ فرکانسی یک آپ امپ محدود به حاصلضرب گین در پهنای باند یا بهره ولتاژ حلقه باز (AV) تقویت‌کننده عملیاتی مورد استفاده است که به آن محدودیت پهنای باند می‌دهد، که در آن پاسخ حلقه بسته آپ امپ، پاسخ حلقه باز را قطع می‌کند.

یک تقویت‌کننده عملیاتی معمولی مانند uA741 دارای یک گین ولتاژ DC معمولی «حلقه باز» (بدون هیچ فیدبک) با حداکثر 100 دسی‌بل است که با افزایش فرکانس ورودی، با شیب منفی 20 دسی‌بل در دهه (منفی 6 دسی‌بل در اکتاو) کاهش می‌یابد. گین uA741 تا زمانی که به گین واحد (0dB) یا «فرکانس انتقال» (ƒt ) که حدود ۱ مگاهرتز است برسد، کاهش می یابد. این امر باعث می‌شود که منحنی پاسخ فرکانسی آپ امپ بسیار شبیه به یک فیلتر پایین‌گذر مرتبه اول باشد و این در زیر نشان داده شده‌است.

منحنی پاسخ فرکانسی یک تقویت‌کننده عملیاتی معمولی

۲. منحنی پاسخ فرکانسی یک تقویت‌کننده عملیاتی معمولی

پس عملکرد «فیلتر بالاگذر» در فرکانس‌های بالا توسط این فرکانس انتقال با گین واحد محدود می‌شود که پهنای باند کلی تقویت‌کننده حلقه باز را تعیین می‌کند. حاصلضرب گین در پهنای باند آپ امپ از حدود ۱۰۰ کیلوهرتز برای تقویت‌کننده‌های سیگنال کوچک شروع می‌شود و تا حدود ۱ گیگاهرتز برای تقویت‌کننده‌های ویدیویی دیجیتال پرسرعت و فیلترهای اکتیو مبتنی بر آپ امپ بالا می‌رود و می‌تواند به شرط استفاده از  مقاومت‌ها و خازن‌ها با تلرانس کم، به دقت و عملکرد بسیار خوبی دست یابد.

در شرایط عادی، حداکثر باند عبور مورد نیاز برای فیلتر میان‌گذر یا بالاگذر اکتیو حلقه بسته بسیار کمتر از حداکثر فرکانس انتقال حلقه باز است. با این حال، هنگام طراحی مدارهای فیلتر اکتیو، مهم است که آپ امپ صحیح را برای مدار انتخاب کنید زیرا از دست دادن سیگنال‌های فرکانس بالا ممکن است منجر به اعوجاج سیگنال شود.

فیلتر بالاگذر اکتیو

همانطور که از نامش مشخص است، یک فیلتر اکتیو بالاگذر (تک قطبی) درجه یک، فرکانس‌های پایین را تضعیف می‌کند و سیگنال‌های فرکانس بالا را ارسال می‌کند. این فیلتر به سادگی از یک بخش فیلتر پسیو و به دنبال آن یک تقویت‌کننده عملیاتی غیر‌معکوس تشکیل شده‌است. پاسخ فرکانسی مدار همانند فیلتر پسیو است، با این تفاوت که دامنه سیگنال با گین تقویت‌کننده افزایش می‌یابد و برای تقویت‌کننده غیر‌معکوس، مقدار گین ولتاژ باند عبور  مانند مدار فیلتر پایین‌گذر برابر  1 + R2/R1  است.

فیلتر بالاگذر اکتیو با تقویت کننده

۲. فیلتر بالاگذر اکتیو با تقویت‌کننده

این فیلتر بالا گذر درجه اول، به سادگی از یک فیلتر پسیو و به دنبال آن یک تقویت‌کننده غیر‌معکوس تشکیل شده‌است. پاسخ فرکانسی مدار همانند فیلتر پسیو است، با این تفاوت که دامنه سیگنال با گین تقویت‌کننده افزایش می‌یابد.

برای یک مدار تقویت‌کننده غیرمعکوس، مقدار گین ولتاژی برای فیلتر به عنوان تابعی از مقاومت فیدبک (R۲) تقسیم بر مقدار مقاومت ورودی مربوطه (R۱) می‌باشد و به صورت زیر داده می‌شود:

گین فیلتر بالاگذر اکتیو

که در این فرمول داریم:

• AF : گین باند عبور فیلتر (1 + R2/R1 )
• F : فرکانس سیگنال ورودی با واحد هرتز
• FC : فرکانس قطع با واحد هرتز

همچون فیلتر پایین‌گذر، عملکرد فیلتر بالاگذر اکتیو را می‌توان به کمک معادله گین-فرکانس بالا ثابت کرد:

۱. در فرکانس‌های بسیار پایین :

۲. در فرکانس قطع :

۳. در فرکانس‌های بسیار بالا  :

پس گین فیلتر بالاگذر اکتیو با افزایش فرکانس از فرکانس صفر (DC) تا نقطه فرکانس قطع fC با شیب 20 دسی‌بل بر دهه افزایش می‌یابد. در نقطه فرکانس قطع، گین برابر با 0.707AF است و تمامی فرکانس‌های بالاتر از نقطه قطع، فرکانس‌های باند عبور می‌باشند بنابراین در این فرکانس‌ها، فیلتر یک گین ثابت AF خواهد داشت که بالاترین فرکانس عبوری، توسط پهنای باند حلقه بسته آپ امپ مشخص می‌شود.

هنگامی که با مدارهای فیلتر سروکار داریم، مقدار گین باند عبور مدار به طور کلی بر حسب دسی بل یا dB به عنوان تابعی از گین ولتاژی بیان می‌شود و  به صورت زیر تعریف می‌شود:

دامنه گین ولتاژی بر حسب دسی‌بل (dB)

برای فیلتر درجه اول، منحنی پاسخ فرکانسی فیلتر با شیب 20 دسی‌بل بر دهه یا 6 دسی‌بل بر اکتاو تا نقطه فرکانس قطع تعیین‌شده که همیشه منفی 3 دسی‌بل کمتر از حداکثر مقدار گین است، افزایش می‌یابد. همچون مدارهای فیلتر قبلی، فرکانس قطع یا گوشه پایین fC را می‌توان با استفاده از همان فرمول پیدا کرد:

زاویه فاز متناظر یا شیفت فاز سیگنال خروجی همان است که برای فیلتر RC پسیو داده شده‌است و جلوتر از سیگنال ورودی خواهد بود. شیفت فاز در مقدار فرکانس قطع ƒc برابر با مثبت 45 درجه است و به صورت زیر می‌باشد:

یک فیلتر بالاگذر اکتیو درجه اول ساده می‌تواند با استفاده از پیکربندی تقویت‌کننده عملیاتی معکوس نیز ساخته شود، و نمونه‌ای از این طراحی مدار همراه با منحنی پاسخ فرکانسی مربوطه آن ارائه شده‌است. گین ۴۰دسی‌بل برای مدار در نظر گرفته شده‌است.

مدار تقویت‌کننده عملیاتی معکوس

۳. مدار تقویت‌کننده عملیاتی معکوس

منحنی پاسخ فرکانسی

۴. منحنی پاسخ فرکانسی

مثال۱ - فیلتر بالاگذر اکتیو

یک فیلتر بالاگذر اکتیو درجه اول دارای گین باند عبور ۲ و فرکانس گوشه یا قطع ۱ کیلوهرتز است. اگر خازن ورودی دارای مقدار ۱۰ نانوفاراد باشد، مقدار مقاومت تعیین‌کننده فرکانس قطع و مقاومت‌های ایجاد کننده گین در شبکه فیدبک را محاسبه کنید. همچنین پاسخ فرکانسی مورد انتظار فیلتر را رسم کنید.

بنابراین با فرکانس گوشه یا قطع1 کیلوهرتز و خازن 10 نانوفاراد، مقدار R برابر خواهد بود:

یا اینکه با مقدار مقاومت حقیقی ۱۶ کیلواهم آن را تقریب می‌زنیم.

سپس، گین باند عبور فیلتر AF با مقدار ۲ مشخص شده است:

از آنجایی که مقدار مقاومت R۲ تقسیم بر مقاومت R۱ مقدار یک را دارد، پس، مقاومت R۱ باید برابر با مقاومت R۲ باشد، زیرا بهره باند عبور برابر با ۲ است. بنابراین می‌توانیم مقدار مناسبی را برای دو مقاومت مثلا ۱۰ کیلو اهم برای هر دو مقاومت فیدبک انتخاب کنیم.

بنابراین برای یک فیلتر بالاگذر با فرکانس گوشه یا قطع 1 کیلوهرتز، مقادیر R و C به ترتیب 10 کیلواهم و 10 نانوفاراد خواهد بود. مقادیر دو مقاومت فیدبک برای تولید یک گین 2 باند عبور به این صورت خواهد بود: R۱=R۲=10kΩ

 داده‌های نمودار بد پاسخ فرکانسی را می‌توان با جایگزین کردن مقادیر به‌دست‌آمده در بالا در محدوده فرکانسی از ۱۰۰ هرتز تا ۱۰۰ کیلوهرتز در معادله افزایش ولتاژ به دست آورد:

با استفاده از فرمول بالا، جدول دیتا برای رسم نمودار بد به شکل زیر خواهد بود:

فرکانس (هرتز)

گین ولتاژی VO / VIN

گین (دسی‌بل) VO / VIN 20LOG

اکنون می‌توان داده‌های پاسخ فرکانسی جدول بالا را مطابق شکل زیر ترسیم کرد. در باند توقف (از 100 هرتز تا 1 کیلوهرتز)، گین با شیب 20 دسی‌بل در دهه افزایش می‌یابد. با این حال، در باند عبور پس از فرکانس قطع یا گوشه fC=1kHz، گین در 02/6 دسی‌بل ثابت می‌ماند. حد فرکانس بالای باند عبور توسط پهنای باند حلقه‌باز تقویت‌کننده عملیاتی که قبلا بحث کردیم تعیین می‌شود. پس نمودار بد (Bode) مدار فیلتر به این صورت خواهد بود.

نمودار بد پاسخ فرکانسی مثال ۱

۵. نمودار بد پاسخ فرکانسی مثال ۱

کاربردهای فیلترهای بالاگذر اکتیو در تقویت‌کننده‌های صوتی، اکولایزرها یا اسپیکرها برای هدایت سیگنال‌های فرکانس بالا به اسپیکرهای کوچک‌تر توییتر یا کاهش هرگونه نویز فرکانس پایین یا اعوجاج نوع «صدای رعد» است. هنگامی که به این صورت در کاربردهای صوتی استفاده می‌شود، فیلتر بالاگذر اکتیو گاهی اوقات با نام فیلتر «treble boost» شناخته می‌شود.

فیلتر بالاگذر اکتیو درجه دوم

مانند فیلتر پسیو، یک فیلتر اکتیو درجه یک بالاگذر را می‌توان به سادگی با استفاده از یک شبکه RC اضافی در مسیر ورودی به یک فیلتر بالاگذر درجه دوم تبدیل کرد. پاسخ فرکانسی فیلترهای درجه دوم بالاگذر مشابه با نوع درجه اول است با این تفاوت که شیب صعود باند توقف دو برابر فیلترهای درجه اول یعنی مقدار 40 دسی‌بل در دهه (12 دسی‌بل در اکتاو) خواهد بود. بنابراین مراحل طراحی مورد نیاز فیلتر بالاگذر اکتیو درجه دوم با فیلتر درجه اول یکسان است.

مدار فیلتر بالاگذر اکتیو درجه دوم

۶. مدار فیلتر بالاگذر اکتیو درجه دوم

فیلترهای اکتیو درجه بالاتر مانند سوم، چهارم، پنجم و غیره به سادگی با کسکود کردن فیلترهای درجه اول و دوم تشکیل می‌شوند. به عنوان مثال، یک فیلتر بالاگذر درجه سوم از کسکود کردن فیلترهای درجه اول و دوم سری، یک فیلتر بالاگذر درجه چهارم با کسکود کردن دو فیلتر درجه دوم با هم و غیره تشکیل می‌شود.

 پس یک فیلتر بالاگذر اکتیو با درجه زوج فقط از فیلترهای درجه دوم تشکیل می‌شود، در حالی که یک فیلتر درجه فرد با یک فیلتر درجه اول در ابتدا همانطور که نشان داده شده است، شروع می‌شود.

کسکود کردن فیلترهای بالاگذر اکتیو

۷. کسکود کردن فیلترهای بالاگذر اکتیو

اگرچه هیچ محدودیتی برای درجه فیلتر وجود ندارد، اما با افزایش درجه فیلتر، اندازه آن نیز افزایش می‌یابد. همچنین دقت آن کاهش می‌یابد، یعنی تفاوت بین پاسخ باند توقف واقعی و پاسخ باند توقف تئوری نیز افزایش می‌یابد.

اگر مقاومت‌های تعیین‌کننده فرکانس همه برابر باشند، R۱=R۲=R۳ و غیره، و خازن‌های تعیین‌کننده فرکانس همگی برابر باشند، C۱=C۲=C۳ و غیره، فرکانس قطع برای هر درجه فیلتر دقیقا یکسان خواهد بود. با این حال، گین کلی فیلتر درجه بالاتر ثابت است زیرا تمام اجزای تعیین‌کننده فرکانس برابر هستند.

در مقاله بعدی در مورد فیلترها، خواهیم دید که فیلترهای میان‌گذر اکتیو را می‌توان با کسکود کردن یک فیلتر بالاگذر و یک فیلتر پایین‌گذر با هم ساخت.