در این مقاله، نگاهی بر محاسبه‌ی مقدار ولتاژ متوسط یا میانگین یک شکل موج سینوسی، با استفاده از روش‌های mid-ordinate و حل تحلیلی خواهیم داشت.
روشی که برای پیدا کردن ولتاژ میانگین یک شکل موج سینوسی متناوب استفاده میشود؛ بسیار مشابه پیداکردن مقدار ولتاژ RMS است. تفاوت این بار این است؛ که مربع مقادیر لحظه‌ای محاسبه نمی‌شود و درنتیجه، جذر مجموع میانگین را نیز محاسبه نمی‌کنیم.
ولتاژ یا جریان متوسط یک شکل‌موج پریودیک، چه سینوسی باشد، چه مربعی و چه مثلثی به صورت “تقسیم ناحیه زیر شکل‌موج بر حسب زمان، بر یک دوره تناوب” تعریف میشود یا به بیان دیگر، میانگین تمام مقادیر لحظه‌ای برحسب زمان در طول یک دوره تناوب ( T ) است.
برای یک شکل موج پریودیک، ناحیه بالای محور افقی، مثبت است؛ درحالی‌که، ناحیه‌ی پایین محور افقی، منفی است. نتیجه این خواهد بود؛ که مقدار متوسط یا میانگین یک کمیت متناوب متقارن صفر (۰) است. زیرا، ناحیه بالای محور افقی(سیکل مثبت) برابر با ناحیه پایین محور ( سیکل منفی ) است و از این‌رو یک‌دیگر را خنثی می‌کنند.
پس مقدار متوسط یا میانگین یک کمیت متناوب متقارن مانند موج سینوسی، مقدار متوسطی است که فقط در یک نیم‌سیکل اندازه‌گیری میشود؛ زیرا همانطور که قبلا بیان شد، مقدار متوسط یک سیکل کامل، بدون توجه به دامنه پیک، صفر است.
اصطلاحات الکتریکی ولتاژ متوسط یا میانگین یا حتی جریان متوسط، را میتوان برای محاسبات یکسوسازی شکل‌موج‌های AC یا DC استفاده کرد. نمادهای مورداستفاده برای نمایش مقدار میانگین به صورت VAV یا IAV می‌باشند.
روش گرافیکی ولتاژ متوسط
دوباره نیم‌سیکل مثبت ولتاژ RMS مقاله قبلی را در نظر بگیرید. ولتاژ میانگین یک شکل‌موج را میتوان به‌صورت گرافیکی با تقسیم مقادیر لحظه‌ای به صورت برابر با دقت معقولی یافت. نیمه مثبت شکل‌موج به “n” تعداد مساوی یا mid-ordinate تقسیم میشود. عرض هر mid-ordinate، n° درجه ( یا t ثانیه ) و طول هر mid-ordinate برابر با مقادیر لحظه‌ای هر نقطه در راستای محور x روی شکل‌موج است.
روش گرافیکی
۱. روش گرافیکی ولتاژ متوسط
هرمقدار mid-ordinate شکل موج سینوسی، به دیگری اضافه شده و جمع کلی V۱ تا V۱۲، تقسیم بر تعداد mid-ordinate به ما “ولتاژ میانگین“ را میدهد. پس میانگین ولتاژ ( VAV )، میانگین مجموع mid-ordinate های ولتاژ یک شکل‌موج بوده و به ما خواهد داد:
و برای مثال ساده ما در بالا، میانگین ولتاژ به صورت زیر محاسبه میشود:
بنابراین اجازه دهید، مانند قبل دوباره، فرض کنیم که یک ولتاژ متناوب دارای یک ولتاژ پیک، ۲۰ ولت است و در یک نیم سیکل به صورت زیر تغییر می‌کند:
بدین ترتیب :
درنهایت، مقدار ولتاژ متوسط یک نیم‌سیکل، با استفاده از روش گرافیکی مطرح شده برابر با ۱۲.۶۴ ولت خواهد بود.
روش تحلیلی ولتاژ متوسط
همانطور که قبلا گفته‌شد؛ ولتاژ متوسط یک شکل موج پریودیک که دو نیمه آن باهم برابر است؛ چه سینوسی باشد و چه نباشد؛ برای یک سیکل کامل برابر با صفر است. پس مقدار متوسط فقط با افزودن مقادیر لحظه‌ای به یک‌دیگر در طول یک سیکل به‌دست می‌آید. اما برای یک شکل‌موج غیرمتقارن یا پیچیده، ولتاژ متوسط( یا جریان) باید برای یک سیکل پریودیک کامل، به صورت ریاضیاتی مورد بررسی قرار گیرد.
مقدار متوسط را میتوان به صورت ریاضیاتی با تخمین ناحیه زیر منحنی، در فواصل زمانی مختلف برحسب فاصله یا طول پایه به دست‌آورد و این را میتوان با استفاده از مثلث یا مستطیل مانند تصویر زیر داشت:
۲. تخمین ناحیه زیر منحنی
با تقریب مساحت متسطیل‌های زیر منحنی، می‌توانیم ایده تقریبی مساحت واقعی هر یک را به‌دست آوریم. با جمع کردن مساحت این نواحی با یک‌دیگر میتوان مقدار متوسط را پیدا کرد. اگر با تعداد نامحدودی مستطیل روبرو باشیم؛ با نزدیک شدن به Π\۲ ،نتیجه نهایی دقیق‌تر خواهد بود.
ناحیه زیر منحنی را، میتوان با روش‌های مختلف تقریب، مانند قانون ذوزنقه‌ای، قانون mid-ordinate یا قانون سیمپسون به دست‌آورد. ناحیه ریاضیاتی زیر سیکل مثبت موج پریودیک: V(t) = Vp.cos(ωt) با دوره T تعریف میشود که به صورت زیر است:
درجایی که 0 و π کران‌های انتگرال می‌باشند، زیرا در حال تعیین مقدار ولتاژ متوسط برای یک نیم‌سیکل می‌باشیم. ناحیه سطح زیر منحنی، در نهایت Area=2Vp خواهد بود؛ زیرا با دانستن ناحیه زیر نیم‌سیکل مثبت ( یا منفی )؛ میتوان با انتگرال‌گرفتن از مقدار سینوسی یک نیم‌سیکل و تقسیم آن بر نصف دوره تناوب، مقدار ولتاژ متوسط را برای یک ناحیه مثبت( یا منفی ) یک شکل موج سینوسی به دست‌آورد.
برای مثال اگر ولتاژ لحظه‌ای یک موج سینوسی v=Vp.sinθ و دوره تناوب آن برابر با 2π باشد؛ داریم:
بنابراین معادله‌ی استاندارد برای ولتاژ متوسط یک موج سینوسی خواهد بود:
معادله ولتاژ متوسط
ولتاژ میانگین ( VAV ) یک شکل موج سینوسی با ضرب مقدار ولتاژ پیک در ثابت ۰.۶۳۷ تعیین میشود؛ که در واقع برابر با تقسیم دوبرابر مقدار ولتاژ پیک بر π است. ولتاژ متوسط، که میتواند به عنوان مقدار میانگین نیز شناخته شود؛ به اندازه شکل موج نیز بستگی دارد و تابعی از فرکانس شکل موج یا زاویه فاز آن نیست. بنابراین مقدار میانگین چه ولتاژ و چه جریان یک شکل موج سینوسی میتواند مقدار DC معادل مساحت و زمان باشد.
۳. متوسط جریان یا ولتاژ موج سینوسی
مقدار متوسط در طول یک‌سیکل کامل صفر است، زیرا مساحت متوسط مثبت با مساحت متوسط منفی ( VAVG – ( – VAVG ) ) خنثی می‌گردد؛ که منجر به ولتاژ متوسط صفر برای یک سیکل کامل سینوسی میشود.
از مثال گرافیکی بالا، که مقدار ولتاژ پیک ( Vpk ) شکل موج برابر با ۲۰ ولت داده شده است. با استفاده از روش تحلیلی که ارائه نمودیم؛ میتوان ولتاژ میانگین را به صورت زیر محاسبه نمود:
و برابر با همان مقداری است که از روش گرافیکی محاسبه شد. برای یافتن مقدار پیک یک ولتاژ متوسط داده‌شده، تنها به فرمول مراجعه کرده و بر ثابت تقسیم کنید. برای مثال، مقدار پیک سینوسی Vpk چه خواهد بود؛ زمانی‌که مقدار متوسط برابر با ۶۵ ولت است.
و نیز توجه داشته باشید که ضرب نمودن مقدار پیک یا حداکثر در مقدار ثابت ۰.۶۳۷، تنها برای شکل موج‌های سینوسی قابل استفاده است.
خلاصه ولتاژ متوسط
برای جمع بندی، در هنگام کار با ولتاژهای متناوب ( یا جریان‌ها ) اصطلاح مقدار متوسط، در حالت کلی برای یک سیکل کامل است؛ در حالی‌که، مقدار میانگین برای یک نیم‌سیکل پریودیک است.
مقدار متوسط یک شکل‌موج سینوسی کامل، برای یک سیکل کامل صفر است؛ زیرا دو نیمه یک‌دیگر را خنثی می‌کنند. از این‌رو، مقدار متوسط برای نیم‌سیکل محاسبه می‌گردد. مقدار متوسط یک موج سینوسی ولتاژ یا جریان برابر با 0.637 برابر ولتاژ پیک است ( VP یا IP ) که این روابط ریاضیاتی بین مقادیر متوسط هم در جریان AC و هم ولتاژ AC اعمال میشود.
گاهی اوقات، لازم است که بتوان مقدار ولتاژ مستقیم یا جریان خروجی را برای یک مدار یکسوساز یا پالس، مانند مدار موتور PWM محاسبه کرد؛ زیرا ولتاژ یا جریان، اگرچه معکوس نیست، اما مداوم تغییر می‌کند و ازآن‌جایی که هیچ فاز برگشتی ندارد؛ از مقدار متوسط استفاده می‌گردد و مقدار RMS ( جذر میانگین مربع ) برای این کاربرد، حائز اهمیت نیست.
تفاوت اصلی میان ولتاژ RMS و ولتاژ متوسط این است؛ که مقدار میانگین یک موج پریودیک برابر با متوسط نواحی لحظه‌ای زیر منحنی در طول یک دوره‌تناوب شکل‌موج است و اگرموج سینوسی باشد، دوره تناوب در نظرگرفته شده نیم‌سیکل موج است. برای سهولت، به طورکلی از نیم‌سیکل مثبت استفاده میشود.
مقدار متوسط یا مقدار جذر مربع میانگین ( RMS ) یک شکل‌موج، مقدار موثرگرمایی یک موج در مقایسه با مقدار ثابت DC است و جذر میانگین مربعات مقادیر لحظه‌ای در یک سیکل کامل است. فقط برای یک شکل‌موج سینوسی خالص، ولتاژ متوسط یا ولتاژ RMS ( یا جریان ) را میتوان به‌راحتی به‌صورت زیر محاسبه کرد:
ماکزیمم یا مقدار پیک ( Vpk ) * ۰.۶۳۷ = مقدار متوسط ولتاژ
ماکزیمم یا مقدار پیک ( Vpk ) * ۰.۷۰۷ = مقدار مؤثر ولتاژ
3. ولتاژ متوسط و ولتاژ RMS
یک نظر نهایی در استفاده از ولتاژ متوسط یا ولتاژ RMS این است؛ که از هر دو مقدار میتوان برای نمایش دادن “ضریب فرم” شکل‌موج متناوب سینوسی استفاده کرد. ضریب فرم به صورت شکل شکل‌موج AC که ولتاژ RMS است، تقسیم بر ولتاژ متوسط به دست می‌آید.
برای یک شکل‌موج سینوسی یا پیچیده، ضریب فرم به صورت است که به‌صورت تقریبی برابر با ثابت ۱.۱۱ است. ضریب فرم یک نسبت است و به‌همین دلیل واحد الکتریکی ندارد. اگر ضریب فرم یک شکل‌موج سینوسی شناخته‌شده در نظر باشد؛ میتوان از ولتاژ میانگین برای به‌دست آوردن مقدار ولتاژ RMS و برعکس استفاده کرد. زیرا ولتاژ متوسط برابر با 0.9 برابر مقدار ولتاژ RMS برای موج سینوسی است.
دیدگاه خود را بنویسید