شکل موج های RC

مدارهای RC ، می‌توانند هنگامی‌که یک شکل‌موج پریودیک به آن‌ها اعمال می‌شود، شکل‌موج‌های خروجی مفیدی مانند مربعی، مثلثی و دندان‌اره‌ای را تولید کنند.

در مقاله‌های قبلی مرتبط با شارژشدن و تخلیه‌ی شارژ RC دیدیم که چگونه یک خازن، توانایی شارژکردن و تخلیه‌ی شارژ خود را طریق یک مقاومت اتصال سری دارد و زمان صرف‌شده برای شارژ کامل یا تخلیه‌ی کامل این خازن، برابر با 5 ثابت زمانی RC یا 5T است؛ در زمانی‌که ولتاژ DC ثابت به مدار اعمال شود یا از مدار حذف گردد.

اما چه اتفاقی می‌افتد؛ اگر این منبع DC ثابت را به شکل‌موج پالس یا شکل‌موج مربعی تغییر دهیم؛ که دائما از یک مقدار حداکثر با نرخی برابر با پریود زمانی یا فرکانس به یک مقدار حداقل، تغییر می‌کند؟! این امر، چگونه بر شکل‌ موج خروجی RC که دارای یک مقدار ثابت زمانی RC است؛ اثر خواهد داشت؟

قبلا مشاهده کردیم؛ که خازن هنگام اعمال ولتاژ تا 5T شارژ و با حذف آن تا 5T تخلیه می‌شود. در مدارهای شارژشدن و تخلیه‌ی شارژ RC، این مقدار ثابت زمانی 5T همیشه صحیح باقی می‌ماند؛ زیرا توسط ترکیب مقاومت- خازن (RC) ثابت یا فیکس می‌شود. پس زمان واقعی موردنیاز برای شارژ یا تخلیه‌ی کامل خازن را می‌توان، تنها با تغییر مقدار خود خازن یا مقاومت در مدار تغییر داد؛ همانگونه که در شکل زیر آمده است.

سیگنال موج مربعی

با استفاده از مدارهای RC با ثابت‌های زمانی موردنیاز خود، می‌توان اشکال موج مفیدی را بدست آورد. اگر یک شکل‌موج ولتاژ به‌صورت یک موج مربعی را به مدار RC اعمال کنیم که عرض پالس آن دقیقا با 5RC ثابت زمانی (5T) مدار مطابقت دارد؛ شکل‌موج ولتاژ دوسر خازن، همانند شکل زیر خواهدبود:

یک شکل‌موج ورودی 5RC

افت ولتاژ در خازن، متناوبا بین شارژشدن تا VC و تخلیه‌شدن تا صفر، باتوجه به ولتاژ ورودی تغییر می‌کند. در اینجا و در این مثال، فرکانس ( و از این‌رو، پریود زمانی حاصل، f=1/T) یک شکل‌موج ولتاژ ورودی موج مربعی، دقیقا با دو برابر ثابت زمانی 5RC مطابقت دارد.

این ثابت زمانی (10RC) به خازن این امکان را می‌دهد؛ که در طول پریود “روشن‌بودن – ON”(0-5RC) شکل‌موج ورودی، کاملا شارژ شود و سپس در طول پریود “خاموش‌بودن – OFF”(5RC-0RC) شکل‌موج خروجی کاملا تخلیه شود و درنتیجه کاملا با شکل‌موج RC همسان باشد.

اگر پریود زمانی یک شکل‌موج ورودی، طولانی‌تر شود (فرکانس کمتر، f<1/10RC)، به‌عنوان مثال، عرض پالس نیم‌پریود “روشن‌بودن”، معادل “8RC” باشد؛ خازن برای مدت بیشتری کاملا شارژ باقی می‌ماند و در مدت طولانی‌تری تخلیه می‌شود؛ همانطور که در شکل نشان داده شده‌است.

یک شکل‌موج طولانی‌تر 8RC

با این حال، اگر اکنون پریود زمانی کل شکل‌موج ورودی (فرکانس بالاتر، f>1/10RC) را کاهش دهیم؛ برای مثال 4RC، خازن زمان کافی برای شارژ کامل در طول پریود روشن‌بودن یا تخلیه کامل در طول پریود خاموش‌بودن را نخواهد داشت. بنابراین، افت ولتاژ حاصله در خازن، VC کمتر از ولتاژ ورودی آن خواهد بود و شکل‌موج RC را مطابق زیر، تولید می‌کند.

یک شکل‌موج کوتاه‌تر 4RC

پس با تغییر ثابت زمانی RC یا فرکانس شکل‌موج ورودی، می‌توانیم ولتاژ خازن را تغییر دهیم؛ که رابطه‌ی بین VC و زمان t را ایجاد می‌کند. از این رابطه می‌توان برای تغییر شکل‌موج‌های مختلف استفاده کرد؛ به‌طوری‌که شکل‌موج دو سر خازن به‌سختی شبیه شکل‌موج ورودی باشد.

پاسخ فرکانسی

انتگرال‌گیر RC

یک انتگرال‌گیر، نوعی مدار فیلتر پایین‌گذر است؛ که سیگنال ورودی موج مربعی را به خروجی موج مثلثی تبدیل می‌کند. همانطور که در بالا مشاهده شد؛ اگر ثابت زمانی 5RC، در مقایسه با پریود زمانی شکل‌موج RC ورودی، بزرگتر باشد؛ خروجی حاصل مثلثی شکل خواهد بود و هرچه فرکانس ورودی، بیشتر باشد؛ دامنه‌ی خروجی در مقایسه با ورودی کمتر خواهد بود.

که از آن یک خروجی ولتاژ ایده‌آل برای انتگرال‌گیر، به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

مشتق‌گیر RC

یک مشتق‌گیر، نوعی مدار فیلتر بالا‌گذر است؛ که می‌تواند سیگنال ورودی موج مربعی را در خروجی به اسپایک‌های فرکانس بالا، تبدیل ‌کند. اگر 5RC ثابت زمانی، نسبت به پریود زمانی شکل‌موج ورودی، کوتاه باشد؛ خازن قبل از تغییر بعدی در سیکل ورودی، سریعا شارژ می‌شود.

هنگامی‌که، خازن به‌طورکامل شارژ می‌شود؛ ولتاژ خروجی در مقاومت به صفر می‌رسد؛ رسیدن به لبه‌ی افت شکل‌موج ورودی، باعث می‌شود؛ خازن به‌صورت معکوس شارژ شود و یک اسپایک خروجی منفی ایجاد کند. سپس با تغییر موج ورودی در طول هر سیکل، اسپایک خروجی از یک مقدار مثبت به یک مقدار منفی تغییر می‌کند.

پس، یک خروجی ولتاژ ایده‌آل برای مشتق‌گیر خواهد بود:

سیگنال ورودی موج سینوسی متناوب

اگر اکنون شکل‌موج RC ورودی این مدارهای RC را به یک سیگنال ولتاژ سینوسی تغییر دهیم؛ شکل‌موج RC خروجی بدون تغییر باقی می‌ماند و فقط دامنه‌ی آن تحت تاثیر قرار می‌گیرد. با تغییر موقعیت‌های مقاومت، R یا خازن، C می‌توان یک فیلتر پایین‌گذر یا بالاگذر مرتبه اول ساده ایجاد کرد؛ که پاسخ فرکانسی این دو مدار به مقدار فرکانس ورودی بستگی دارد.

سیگنال‌های فرکانس پایین با تضعیف کم یا بدون تضعیف، از ورودی به خروجی منتقل می‌شوند؛ درحالی‌که، سیگنال‌های فرکانس بالا، به‌طور قابل‌توجهی تقریبا تا صفر تضعیف می‌شوند. عکس این قضیه برای مدار فیلتر بالاگذر نیز صادق است. معمولا، نقطه‌ای که در آن، پاسخ تا 3dB کاهش یافته‌است (فرکانس قطع، fC) برای تعریف پهنای باند فیلترها، استفاده می‌شود و افت 3dB مربوط به کاهش ولتاژ خروجی به 70.7% از مقدار اولیه است.

فرکانس قطع فیلتر RC

که در آن، RC ثابت زمانی مدار است؛ که قبلا تعریف شده‌بود و می‌توان آن را با T یا تاو جایگزین کرد. این مثال دیگری از نحوه‌ی ارتباط مفاهیم حوزه‌ی زمان و حوزه‌ی فرکانس است.