قضیه تونن

قضیه تونن، یک روش تحلیلی است که برای تبدیل یک مدار پیچیده به یک مدار معادل ساده، متشکل از یک مقاومت واحد سری‌شده با منبع ولتاژ، استفاده می‌شود.

در سه آموزش قبلی، نگاهی به حل مدارهای الکتریکی پیچیده با استفاده از قانون‌های کیرشهف، آنالیز مش و در نهایت آنالیز گره داشتیم. اما بسیاری دیگر از قضایای آنالیز مدار، برای انتخاب جریان‌ها و ولتاژها در هر نقطه‌ای از مدار، وجود‌ دارند. در این آموزش ما به یکی از رایج‌ترین قضیه‌های تحلیل مدار (در کنار قانون کیرشهف) که توسعه‌ داده‌شده‌است؛ یعنی قضیه‌ی تونن می‌پردازیم.

قضیه‌ی تونن بیان می‌کند که: “هر مدار خطی دارای چندین ولتاژ و مقاومت، می‌تواند تنها با یک ولتاژ واحد سری‌شده با یک مقاومت واحد متصل به بار، جایگزین شود“. به بیان دیگر، می‌توان هر مدار الکتریکی را، صرف نظر از این‌که چقدر پیچیده باشد؛ توسط دو پایانه‌ی معادل در مدار، با تنها یک منبع ولتاژ ثابت مستقل سری‌شده با رزیستانس (یا امپدانس) متصل‌شده به بار، به‌صورت زیر ساده نمود.

قضیه‌ی تونن، به ویژه در تجزیه و‌ تحلیل سیستم‌های توان یا باتری و سایر مدارهای مقاومتی به‌هم‌پیوسته که در قسمت مجاور مدار تاثیر گذار می‌باشند، مفید است.

مدار معادل تونن

مدار معادل تونن

از نظر مقاومت بار RL، هر شبکه‌ی “یک پورت” پیچیده، حاوی تعدادی عنصر مقاومتی و منابع انرژی مدار است که می‌تواند با یک مقاومت معادل تنها RS و یک ولتاژ معادل تنها VS جایگزین شود. RS، مقدار رزیستانس منبع، با توجه به مدار و VS ، ولتاژ مدار باز در پایانه‌هاست.

برای مثال، مدار مرتبط با آموزش‌های قبلی را در نظر بگیرید.

در مرحله‌ی اول برای آنالیز مدار باید مقاومت بار 40Ω مرکزی متصل‌شده دو سر پایانه‌های A-B و هر گونه رزیستانس داخلی مربوط به منابع ولتاژ را حذف کنیم. این‌کار، با اتصال‌ کوتاه کردن تمام منابع ولتاژ متصل به‌ مدار یعنی v=0 یا مدار باز کردن هر منبع جریان متصل، یعنی i=0 انجام می‌شود. دلیل این امر، این است که می‌خواهیم منبع ولتاژ ایده‌آل یا منبع جریان ایده‌آل برای تجزیه و‌ تحلیل مدار، داشته‌با‌شیم.

مقدار مقاومت یا رزیستانس معادل RS، با محاسبه‌ی رزیستانس کل، از پایانه‌های A و B و با اتصال‌کوتاه‌کردن تمام منابع ولتاژ، به‌دست می‌آید. سپس مدار زیر را به‌دست می‌آوریم.

پیدا کردن مقاومت معادل (Rs)

مقاومت ۱۰Ω سری شده با مقاومت ۲۰Ω

ولتاژ VS، به‌عنوان ولتاژ کل دو سر پایانه‌های A و B، زمانی که بین آن‌ها مدار باز است تعریف می‌شود. این امر، زمانی‌است که مقاومت بار RL متصل نیست.

پیدا کردن معادل ولتاژ (Vs)

اکنون نیاز است که ما دو ولتاژ را دوباره به مدار متصل کنیم و از آن جایی که VS = VAB است؛ جریان جاری در حلقه، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

این جریان ۰.۳۳ آمپر (۳۳میلی‌آمپر) بین هر دو مقاومت، مشترک است بنابراین، افت ولتاژ دو سر مقاومت ۲۰Ω یا مقاومت ۱۰Ω، می‌تواند به‌صورت زیر محاسبه‌شود:

پس معادل تونن مدار، از یک رزیستانس سری 6.67Ω و یک منبع ولتاژ 13.33v تشکیل شده‌است. با متصل کردن دوباره‌ی مقاومت 40Ω به مدار خواهیم داشت:

و از این طریق، می‌توان جریان جاری در مدار را به‌صورت زیر یافت:

 و دوباره این مقدار جریان، برابر با ۰.۲۸۶ آمپر است که پیش از این، در آموزش قبلی قانون مداری کیرشهف پیدا شده‌بود.

قضیه‌ی‌تونن، می‌تواند به عنوان نوع دیگری از روش تجزیه و‌ تحلیل مدار استفاده‌شود. به‌ویژه استفاده از آن در آنالیز مدارهای پیچیده متشکل از یک یا چند منبع ولتاژ یا جریان و مقاومت‌هایی که در اتصالات موازی و سری معمول چیده‌شده اند؛ مفید است.

درحالی‌که قضیه‌ی مداری تونن، می‌تواند از نظر ریاضیاتی برای بیان ولتاژ و جریان توصیف شود؛ به‌اندازه‌ی آنالیز جریان مش و آنالیز ولتاژ گره، در شبکه‌های بزرگ قدرتمند نیست. زیرا استفاده از آنالیز مش یا گره، معمولا در هر تمرین تونن ضروری است و ممکن است از ابتدا مورد استفاده قرارگیرد. در هر حال، معادلات مداری تونن ترانزیستورها، منابع ولتاژ مانند باتری و .. است و از این نظر، بسیار مفید برای طراحی مدار می‌باشند.

خلاصه قضیه تونن

در اینجا دیدیم که قضیه‌ی تونن، نوع دیگری از ابزار آنالیز مدار است که می‌تواند برای کاهش هر شبکه‌ی پیچیده‌ی الکتریکی به یک مدار ساده، متشکل از یک منبع ولتاژ تنهای VS سری‌شده با مقاومت تک RS استفاده‌شود.

هنگامی که از پایانه‌های A و B، به مدار نگاه می‌کنید؛ این مدار واحد، از نظر الکتریکی، دقیقا مانند مدار پیچیده‌ای که جایگزین شده‌است؛ رفتار می‌کند. این روابط i-v در پایانه‌های A-B یکسان است.

روش اساسی حل یک مدار با استفاده از قضیه‌ی تونن به‌صورت زیر است:

1. مقاومت بار RL یا عنصر مربوطه را حذف کنید.
2. RS را با اتصال‌کوتاه‌کردن همه‌ی منابع ولتاژ یا مداربازکردن همه‌ی منابع جریان، پیدا کنید.
3. VS را با روش‌های معمول آنالیز مدار، پیداکنید.
4. جریان جاری در مقاومت بار RL را پیدا کنید.

در آموزش بعدی، نگاهی به قضیه‌ی نورتن، خواهیم داشت؛ که به شبکه‌ی متشکل از مقاومت‌های خطی و منابع ،اجازه می‌دهد تا به‌صورت مدار معادل، با یک منبع جریان تنها و موازی‌شده با یک رزیستانس منبع تنها، نشان داده‌شود.