مشتق گیر RC

مشتق‌گیر پسیو RC، یک شبکه‌ی اتصال سری RC است؛ که سیگنال خروجی را مطابق با فرآیند ریاضی مشتق‌گیری تولید می‌کند.

برای مدار مشتق‌گیر پسیو RC، ورودی به یک خازن متصل می‌شود؛ درحالی‌که، ولتاژ خروجی از دو سر مقاومت گرفته می‌شود و این امر، دقیقا عکس مدار انتگرال‌گیر RC است.

یک مدار مشتق‌گیر پسیو RC، چیزی بیش از یک خازن سری‌شده با یک مقاومت نیست؛ که یک قطعه‌ی وابسته به فرکانس است و راکتانس سری‌شده با مقدار مقاومتی ثابت را ( عکس یک انتگرال‌گیر) دارد. همانند مدار انتگرال‌گیر، ولتاژ خروجی وابسته به ثابت زمانی مدار RC و فرکانس ورودی است.

بنابراین، در فرکانس‌های ورودی کم، راکتانس XC خازن بالا بوده و هر مقدار d.c ولتاژ یا تغییر آهسته‌ی سیگنال‌های ورودی را حذف می‌کند. این درحالی‌ است؛ که، در فرکانس‌های بالا، راکتانس خازن کم است و به پالس‌هایی با تغییر سریع، اجازه می‌دهد؛ مستقیما از ورودی به خروجی بروند.

این امر به این دلیل است؛ که نسبت راکتانس خازنی(XC) به مقدار مقاومتی(R) برای فرکانس‌های مختلف، متفاوت است و هرچه فرکانس کمتر باشد؛ خروجی نیز کمتر است. برای یک ثابت زمانی مشخص، هرچه فرکانس پالس‌های ورودی افزایش یابد؛ پالس‌های خروجی بیشتری از نظر شکل به پالس‌های ورودی شباهت خواهند داشت.

ما این اثر را در آموزش خود در مورد فیلترهای بالا‌گذر پسیو دیدیم و اگر سیگنال ورودی، یک موج سینوسی باشد؛ مشتق‌گیر rc، به‌عنوان یک فیلتر بالاگذر ساده (HPF) عمل کرده و فرکانس قطع یا گوشه، با ثابت زمانی RC (تاو یا T) شبکه‌ی سری، مطابقت خواهد داشت.

بنابراین، هنگامی‌که مدار با یک موج سینوسی، تغذیه می‌شود؛ یک مشتق‌‌گیر RC به‌عنوان یک فیلتر بالا‌گذر پسیو ساده، به‌دلیل فرمول راکتانس خازنی استاندارد XC=1/(2пfC)، عمل می‌کند.

اما یک شبکه‌ی RC ساده، می‌تواند برای انجام عمل مشتق‌گیری سیگنال ورودی، پیکربندی شود. از آموزش‌های قبلی می‌دانیم؛ که جریان خازن یک تابع نمایی پیچیده به‌صورت iC=C(dVC/dt) است. نرخ شارژشدن (یا تخلیه‌ی شارژ)خازن، مستقیما با مقدار مقاومتی و ظرفیت خازن نسبت دارد و ثابت زمانی مدار را در اختیار ما قرار می‌دهد. از این‌رو، ثابت زمانی یک مدار مشتق‌گیر، بازه‌ی زمانی برابر با حاصل‌ضرب R و C است. مدار پایه‌ای سری RC زیر را در نظر بگیرید.

برای یک مدار مشتق‌‌گیر RC، سیگنال ورودی به خازن اعمال می‌شود و خروجی از دو سر مقاومت گرفته می‌شود و یعنی VOUT برابر با VR است. از آنجایی‌که، خازن یک قطعه‌ی وابسته به فرکانس است؛ مقدار باری که دو سر صفحات ایجاد می‌شود؛ برابر با مشتق حوزه‌ی زمان از جریان است. یعنی زمان مشخصی طول می‌کشد؛ تا خازن به‌طور کامل شارژ شود؛ زیرا خازن نمی‌تواند آنی شارژ شود و فقط به‌صورت نمایی، این اتفاق می‌افتد.

در آموزش مرتبط با انتگرال‌های RC دیدیم؛ که زمانی‌که، یک پالس ولتاژ تک پله به ورودی یک انتگرال‌گیر RC اعمال می‌شود؛ اگر ثابت زمانی RC به اندازه‌ی کافی بزرگ باشد؛ خروجی به ‌صورت شکل‌موج دندان‌اره‌ای می‌شود. مشتق‌گیر RC نیز شکل‌موج ورودی را، به شکل متفاوتی از انتگرال‌گیر تغییر می‌دهد.

ولتاژ مقاومت

پیش از این گفتیم؛ که برای یک مشتق‌گیر RC، خروجی برابر با ولتاژ مقاومت بوده و یعنی VOUT برابر با VR می‌باشد و برای مقاومت، ولتاژ خروجی می‌تواند به‌صورت آنی تغییر کند.

با این‌حال، ولتاژ دو سرخازن نمی‌تواند به‌صورت لحظه‌ای تغییر کند؛ اما می‌تواند وابسته به ظرفیت خازنی،C  شارژ الکتریکی Q را دو سر صفحات خود، ذخیره کند. پس، شارش جریان در خازن، یعنی it وابسته به نرخ تغییر شارژ دوسر صفحات می‌باشد. پس جریان خازن، متناسب با ولتاژ نبوده؛ بلکه متناسب با تغییر زمانی آن است و به ما i=dQ/dt را می‌دهد.

از آنجایی‌که، میزان شارژ دوسر صفحات خازن برابر با Q = C x VC است؛ یعنی ظرفیت خازنی ضربدر ولتاژ می‌شود. می‌توانیم معادله‌ی جریان خازن را به‌صورت زیر استخراج کنیم:

جریان خازن

از این‌رو، جریان خازن به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

از آنجایی‌که، VOUT برابر با VR بوده و طبق قانون اهم VR برابر با iR x R است؛ شارش جریان در خازن باید در مقاومت نیز وجود داشته باشد؛ زیرا به‌صورت سری نسبت به‌هم قرار گرفته‌اند. در نتیجه:

پس، معادله‌ی استاندارد داده‌شده برای یک مدار مشتق‌گیر RC به‌صورت زیر است:

فرمول مشتق‌گیر RC

پس می‌توانیم ببینیم؛ که ولتاژ خروجی،VR مشتق ولتاژ ورودی،VIN بوده و با ثابت زمانی RC وزن می‌شود. در جایی‌که RC نشان‌دهنده‌ی ثابت زمانی،ᴛ مدار سری است.

مشتق‌گیر RC تک پالس

هنگامی‌که، یک پالس ولتاژ تک پله‌ای به ورودی یک مشتق‌گیر RC اعمال می‌شود؛ خازن در ابتدا به‌صورت اتصال کوتاه در برابر یک سیگنال تغییر سریع، “ظاهر می‌شود”. دلیل این امر این است؛ که شیب dv/dt لبه‌ی مثبت یک موج مربعی، بسیار بزرگ است ( درحالت ایده‌آل بی‌نهایت) و بنابراین، در لحظه‌ای که سیگنال ظاهر می‌شود؛ تمام ولتاژ ورودی به خروجی ظاهرشده در دوسر مقاومت، داده می‌شود.

پس از اینکه لبه‌ی مثبت اولیه‌ی سیگنال ورودی عبور کرد و مقدار پیک(قله)ی ورودی ثابت شد؛ خازن در پاسخ به پالس ورودی با نرخی که توسط ثابت زمانی RC، ᴛ=RC تعیین می‌شود؛ شروع به شارژشدن در حالت نرمال خود از طریق مقاومت می‌نماید.

همانطورکه خازن شارژ می‌شود؛ ولتاژ در مقاومت و درنتیجه، خروجی به‌صورت نمایی کاهش می‌یابد تا زمانی که خازن پس از 5RC(5T) به‌طور کامل شارژ شود و درنتیجه، خروجی دو سر مقاومت صفر گردد. بنابراین، ولتاژ در خازن کاملا شارژشده با مقدار پالس ورودی VC=VIN برابربوده و این شرط، تا زمانی‌که، پالس ورودی تغییر نکند؛ صادق است.

اگر اکنون پالس ورودی تغییر کرده و به صفر برگردد؛ نرخ تغییر لبه‌ی منفی پالس، از خازن به خروجی می‌گذرد؛ زیرا خازن نمی‌تواند به این تغییر dv/dt زیاد، پاسخ دهد و درنتیجه، یک افزایش منفی در خروجی خواهدبود.

س از لبه‌ی منفی اولیه سیگنال ورودی، خازن شروع به ریکاوری کرده و به طور معمول، شروع به تخلیه می‌کند و ولتاژ خروجی در مقاومت و درنتیجه خروجی، شروع به افزایش نمایی با تخلیه‌ی شارژ خازن می‌کند.

بنابراین، هر زمان که سیگنال ورودی به‌سرعت درحال تغییر باشد؛ یک اسپایک ولتاژ در خروجی با پلاریته‌ی این افزایش ولتاژ، بسته به اینکه ورودی در جهت مثبت یا منفی تغییر می‌کند؛ تولید می‌شود؛ زیرا یک اسپایک مثبت، سبب تولید سیگنال ورودی با لبه‌ی مثبت و یک اسپایک منفی، سبب تولید سیگنال ورودی با لبه‌ی منفی می‌نماید.

پس خروجی مشتق‌گیر RC، در واقع نموداری از نرخ تغییر سیگنال ورودی است؛ که هیچ شباهتی به موج ورودی موج مربعی ندارد؛ اما از اسپایک‌های باریک مثبت و منفی با تغییر مقدار پالس ورودی، تشکیل شده‌است.

با تغییر دوره‌ی زمانی،T پالس‌های ورودی موج مربعی، نسبت به ثابت زمانی ثابت RC ترکیب سری، شکل پالس‌های خروجی، مطابق شکل تغییر می‌کند.

شکل‌موج‌های خروجی مشتق‌گیر RC

پس می‌بینیم؛ که شکل شکل‌موج خروجی به نسبت عرض پالس به ثابت زمانی RC بستگی دارد. هنگامی‌که، RC بسیار بزرگ‌تر از عرض پالس است (بزرگتر از 10RC)، شکل‌موج خروجی شبیه موج مربعی سیگنال ورودی است. هنگامی‌که، RC بسیار کوچکتر (کمتر از 0.1RC) از عرض پالس است؛ شکل‌موج خروجی، شکل اسپایک‌های بسیار تیز و باریک، همانطور که در بالا نشان داده شده‌است؛ به خود می‌گیرد.

بنابراین، با تغییر ثابت زمانی مدار از 10RC به 0.1RC می‌توانیم طیفی از اشکال موج‌های مختلف را تولید کنیم. در حالت کلی، همیشه از ثابت‌های زمانی کوچکتر در مدارهای مشتق‌گیر RC استفاده می‌شود؛ تا پالس‌های تیز خوبی را در خروجی دوسر R ایجاد کند. پس، مشتق‌گیر یک پالس موج مربعی (ورودی dv/dt بزرگ) یک اسپایک بی‌نهایت کوتاه در مدار مشتق‌گیر RC است.

اجازه دهید، فرض کنیم که یک شکل‌موج موج مربعی، دارای پریودT برابر با 20 میلی‌ثانیه است؛ که عرض پالس برابر با 10 میلی‌ثانیه (20 میلی‌ثانیه تقسیم بر دو) را به ما می‌دهد. برای یک اسپایک که تا 37% مقدار اولیه‌ی خود تخلیه‌ی شارژ می‌شود؛ عرض پالس باید برابر با ثابت زمانی RC، یعنی RC=10mS باشد.

 اگر مقدار خازن، C را برابر با 1uF و مقاومت،R را برابر با 10kΩ انتخاب کنیم. برای اینکه خروجی شبیه به ورودی باشد؛ نیاز داریم؛ که 10برابر (10RC) عرض پالس، RC داشته باشیم. پس برای یک خازن با ارزش 1uF ، مقدار مقاومت برابر با 100kΩ خواهد شد. به همین ترتیب، برای اینکه خروجی شبیه یک پالس تیز باشد، به مقدار RC نیاز داریم؛ که 1/10 (0.1RC) عرض پالس باشد؛ بنابراین، برای همان مقدار خازن 1uF، مقدار مقاومت 1kΩ بدست می‌آید و اینگونه ادامه می‌یابد.

مثال مشتق‌گیر RC

بنابراین، با داشتن یک مقدار RC برابر با یک دهم عرض پالس ( که در مثال ما در بالا برابر با  0.1*10ms=1msاست) یا کمتر، می‌توانیم اسپایک‌های موردنیاز را در خروجی تولید کنیم و هرچه ثابت زمانی RC برای عرض پالس معین کمتر باشد؛ اسپایک‌ها تیزتر می‌شوند. بنابراین، شکل دقیق شکل‌موج خروجی به مقدار ثابت زمانی RC بستگی دارد.

خلاصه مشتق‌گیر RC

ما در اینجا و در این آموزش مشتق‌گیر RC دیدیم؛ که سیگنال ورودی به دوسر خازن اعمال می‌شود و خروجی از دو سر مقاومت گرفته می‌شود. یک مدار مشتق‌گیر در تولید پالس‌های نوع تریگر یا اسپایک برای کاربردهای مدار زمان‌بندی استفاده می‌شود.

هنگامی‌که، یک ورودی پله‌ای موج مربعی به این مدار RC اعمال می‌شود؛ شکل‌موج کاملا متفاوتی در خروجی ایجاد می‌کند. شکل شکل‌موج خروجی وابسته به زمان پریود،T (و از این‌رو، فرکانس،f) موج مربعی ورودی و مقدار ثابت زمانی RC مدار است.

هنگامی‌که، پریود زمانی یک شکل‌موج مربعی برابر یا کوچکتر (فرکانس بالاتر) از ثابت زمانی RC مدار است؛ شکل‌موج خروجی، مشابه شکل‌موج ورودی است و این پروفایل موج مربعی است. زمانی‌که، پریود زمانی شکل‌موج ورودی بسیار بزرگتر ( فرکانس کمتر) از ثابت زمانی RC مدار باشد؛ شکل‌موج خروجی مشابه اسپایک‌های مثبت و منفی باریک است.

اسپایک مثبت در خروجی، توسط لبه‌ی بالارونده‌ی موج مربعی ورودی و اسپایک منفی توسط لبه‌ی پایین‌رونده‌ی موج مربعی ورودی، تولید می‌شود. پس خروجی مدار مشتق‌گیر RC وابسته به نرخ تغییر ولتاژ ورودی است و این اثر بسیار شبیه به تابع ریاضیاتی مشتق است.